Question

16．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinAsinB+cosC=0，3a²+3b²+2ab=3c²，则tanA+tanB+tanC=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知式子和余弦定理可得cosC=-$\frac{1}{3}$，进而由同角三角函数基本关系可得tanC=-2$\sqrt{2}$，再由2sinAsinB+cosC=0和和差角的三角函数公式可得tanA+tanB的值，整体代入计算可得．

解答 解：∵在△ABC中2sinAsinB+cosC=0，3a²+3b²+2ab=3c²，
∴3（a²+b²-c²）=-2ab，故cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{3}$，
由同角三角函数基本关系可得tanC=-2$\sqrt{2}$，
∴tan（A+B）=-tanC=2$\sqrt{2}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
再由2sinAsinB+cosC=0可得2sinAsinB=-cosC=cos（A+B），
∴2sinAsinB=cosAcosB-sinAsinB，故3sinAsinB=cosAcosB，
∴tanAtanB=$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$=$\frac{1}{3}$，∴2$\sqrt{2}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=2$\sqrt{2}$（1-tanAtanB）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴tanA+tanB+tanC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-2$\sqrt{2}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查余弦定理解三角形，涉及三角函数公式和整体思想，属中档题．