Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2cos²B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A-B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；
（2）把sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2cos²B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．

解答 解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，
即sinAcosB-cosAsinB=0，得sin（A-B）=0，
∵A，B∈（0，π），
∴A-B∈（-π，π），则A-B=0，
∴A=B，即△ABC为等腰三角形；
（2）sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2cos²B=sin2Acos$\frac{π}{6}$+cos2Asin$\frac{π}{6}$-2cos²B
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A+\frac{1}{2}cos2A$-（1+cos2B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A+\frac{1}{2}cos2A$-cos2A-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{1}{2}cos2A-1$=$sin（2A-\frac{π}{6}）-1$．
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
则$sin（2A-\frac{π}{6}）-1$∈（-$\frac{3}{2}，0$]．
即sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2cos²B的取值范围是：（-$\frac{3}{2}，0$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．