Question

3．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（　　）

• A． ${x^2}+\frac{1}{x^2}≥x+\frac{1}{x}$
• B． $\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}≤\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$
• C． $|x-y|+\frac{1}{x-y}≥2$
• D． |x-y|≤|x-z|+|y-z|

Answer 1

分析 A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+$\frac{1}{x}$≥2，可得：${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$-$（x+\frac{1}{x}）$=t²-t-2=（t-2）（t+1）≥0，即可判断出真假；
B.$（\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}）$-$（\sqrt{x+2}-\sqrt{x}）$=$\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}$-$\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$，即可判断出真假．
C．取x=1，y=2，即可判断出真假；
D．|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|y-z|，即可判断出真假．

解答 解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+$\frac{1}{x}$≥2，∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$-$（x+\frac{1}{x}）$=t²-t-2=（t-2）（t+1）≥0，正确；
B．∵$\sqrt{x+3}$-$\sqrt{x+1}$＞$\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$，∴$（\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}）$-$（\sqrt{x+2}-\sqrt{x}）$=$\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}$-$\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$≤0，∴$（\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}）$≤$（\sqrt{x+2}-\sqrt{x}）$，正确．
C．取x=1，y=2，则|x-y|+$\frac{1}{x-y}$=1-1=0＜2，因此不正确；
D．|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|y-z|，正确．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．