Question

15．已知实数a，b满足：a≥$\frac{1}{2}$，b∈R，且a+|b|≤1，则$\frac{1}{2a}$+b的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当a-b=1时的最值，从而解得．

解答 解：由题意作平面区域如下，
，
结合图象可知，
当a+b=1时，$\frac{1}{2a}$+b才有可能取到最大值，
即$\frac{1}{2a}$+1-a≤$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当a-b=1时，$\frac{1}{2a}$+b才有可能取到最小值，
即$\frac{1}{2a}$+a-1≥2$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\sqrt{2}$-1，
（当且仅当$\frac{1}{2a}$=a，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立），
结合图象可知，
$\frac{1}{2a}$+b的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用．