Question

6．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且3sin²α+2sin²β=1，$\frac{3}{2}$sin2α-sin2β=0，求证：α+2β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知两等式分别得到cos2β和sin2β的值，平方作和求得sinα，然后求得α+2β的正弦值，结合α，β的范围得答案．

解答 证明：由3sin²α+2sin²β=1，得：3sin²α=cos2β，
由$\frac{3}{2}$sin2α-sin2β=0，得3sin2α-2sin2β=0，即sin2β=$\frac{3}{2}$sin2α=3sinαcosα．
∴sin²2β+cos²2β=9sin²αcos²α+9sin⁴α
∴9sin²α=1，又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
则sinα=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin²α）+cosα（3sinαcosα）
=3sinα（sin²α+cos²α）=3sinα=1，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+2β∈（0，$\frac{3π}{2}$），则α+2β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是中档题．