Question

1．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=6，（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$）=11，则BD=

Answer 1

分析 取四边形各及对角线的中点，利用中位线定理把$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$用中位线所在向量表示出来，根据数量积列出方程解出BD．

解答 解分别取AD，BC，AB，CD，BD，AC的中点，E，F，M，N，P，Q．
则四边形EPFQ，MFNE是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EP}+2\overrightarrow{EQ}=2\overrightarrow{EF}$=2（$\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{ME}$），$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME}$=2（$\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}$），
∵（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$）=11，
∴（$\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{ME}$）•（$\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}$）=$\frac{11}{4}$，即${\overrightarrow{MF}}^{2}$-${\overrightarrow{ME}}^{2}$=$\frac{11}{4}$．
∴MF=$\frac{1}{2}AC=3$，ME=$\frac{1}{2}BD$，
∴9-$\frac{1}{4}B{D}^{2}$=$\frac{11}{4}$，
∴BD=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．