Question

11．已知平面上的点O，A，B，C满足|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，则|$\overrightarrow{OC}$|的最大值为$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出A，B坐标分别为 A（2，0），B（2cosα，2sinα），把|$\overrightarrow{OC}$|转化为关于α的三角函数，然后借助于基本不等式求得最值．

解答 解：如图，AB是以O为圆心，半径为2的圆的动弦，
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，得$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，∴点C是以AB为直径的圆上的动点（记圆心为D，半径为r），
∴|$\overrightarrow{OC}$|的最大值为：|$\overrightarrow{OD}$|+r=|$\overrightarrow{OD}$|+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|，
以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则 A（2，0），
设B（2cosα，2sinα），则D（1+cosα，sinα），
∴|$\overrightarrow{OD}$|+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}+\frac{1}{2}\sqrt{（2cosα-2）^{2}+（2sinα）^{2}}$
=$\sqrt{2+2cosα}+\sqrt{2-2cosα}$$≤\sqrt{2[（\sqrt{2+2cosα}）^{2}+（\sqrt{2-2cosα}）^{2}}$=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
当且仅当2+2cosα=2-2cosα，即cosα=0，也就是$α=\frac{π}{2}$时取最大值，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．