Question

5．已知数列{a_n}是公差不为零的正项等差数列，求数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}的首项为a₁＞0，公差为d＞0；从而可化$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$为$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$），从而解得．

解答 解：设数列{a_n}的首项为a₁＞0，公差为d＞0；
则$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{d}$=$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$），
故S_n=$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{2}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）+$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{3}}$-$\sqrt{{a}_{2}}$）+$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{4}}$-$\sqrt{{a}_{3}}$）+…+$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）
=$\frac{1}{d}$（$\sqrt{{a}_{1}+nd}$-$\sqrt{{a}_{1}}$）．

点评 本题考查了分母有理化的应用及裂项求和法的应用，属于基础题．