Question

7．若函数f（x）=$\sqrt{{2}^{（{ax}^{2}+ax+2）}-2}$定义域为R，则a的取值范围是[0，4]．

Answer 1

分析 根据题意，得出不等式${2}^{{（ax}^{2}+ax+2）}$-2≥0恒成立，再转化为ax²+ax+2≥1恒成立，讨论a的值，求出满足题意的a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{{2}^{（{ax}^{2}+ax+2）}-2}$的定义域为R，
∴${2}^{{（ax}^{2}+ax+2）}$-2≥0恒成立，
即ax²+ax+2≥1，
即ax²+ax+1≥0；
当a=0时，1≥0；
当a＞0时，应有△=a²-4a≤0，
解得0＜a≤4；
综上，a的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查了根式与指数函数的图象和性质的应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是基础题．