Question

9．若（2x-1）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），则$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{a}^{2013}{a}_{1}}$=$\frac{1}{4026}$．

Answer 1

分析 利用赋值法求出a₀，a₀+a₁+…+a₂₀₁₃的值，化简$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}{•a}_{1}}$，求出它的值．

解答 解：（2x-1）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），
令x=0，得a₀=-1，
令x=$\frac{1}{2}$，得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=-a₀=1，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}{•a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$；
又a₁x=${C}_{2013}^{2012}$•（2x）•（-1）²⁰¹²=4026x，
∴a₁=4026；
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4026}$．
故答案为：$\frac{1}{4026}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用，赋值法的应用以及整体思想的应用问题，是基础题目．