Question

已知定义在R上的函数满足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-7，3]上的所有实数根之和为（　　）

• A、-9
• B、-10
• C、-11
• D、-12

Answer 1

考点：函数的周期性,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．

解答：解：∵f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

又g（x）=

2x+5

x+2

，则g（x）=2+

1

x+2

，
∴g(x-2)-2=

1

x

，
当x≠2k-1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（-2，2）对称，
；

由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[-7，3]上的实根有5个，
x₁=-3，x₂满足-5＜x₂＜-4，x₃满足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4
x₄满足-7＜x₄＜-6，x₃满足2＜x₅＜3，x₄+x₅=-4
∴方程f（x）=g（x）在区间[-7，3]上的所有实根之和为-11．
故答案为；C．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．