Question

已知函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，则（　　）

• A、f（x₂）＜-

  1+2ln2

  4

• B、f（x₂）＜

  1-2ln2

  4

• C、f（x₂）＞

  1+2ln2

  4

• D、f（x₂）＞

  1-2ln2

  4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，由x₁、x₂的关系，用x₂把a表示出来，求出f（x₂）的表达式最小值即可．

解答： 解：由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x₂²，
∴f（x₂）=x₂²-2x₂+1+（2x₂-2x₂²）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，研究函数的极值问题，求参数的范围问题，是一道基础题．