Question

已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点M（

3

2

，-1），离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若A，B为椭圆C上的动点，且

OA

⊥

OB

（其中O为坐标原点）．求证：直线AB与定圆相切．并求该圆的方程与△OAB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出方程，利用椭圆过点M（

3

2

，-1），离心率为

3

2

，求出a，b，即可求椭圆C的方程．
（2）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，两式相加，可得AB边上的高，即可证明直线AB与定圆相切．利用基本不等式求出△OAB面积的最小值．

解答： 解：（1）由题意，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆过点M（

3

2

，-1），离心率为

3

2

，
∴

1

a2

+

3 4

b2

=1，

a2-b2

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴椭圆方程：

y2

4

+x2=1（4分）
（2）可由

OA

⊥

OB

，设A（|OA|cosα，|OA|sinα），B(|OB|cos(α+

π

2

)，|OB|sin(α+

π

2

))，即B（-|OB|sinα，|OB|cosα）．
将A，B代入椭圆方程后可得：

sin2α

4

+cos2α=

1

|OA|2

，

cos2α

4

+sin2α=

1

|OB|2

两式相加可得：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2|OB|2

=

|AB|2

|OA|2|OB|2

，
∴AB边上的高为

|OA| |OB|

|AB|

=

4 5

，
∴AB与定圆x2+y2=

4

5

相切
同时：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

≥

2

|OA||OB|

，
∴|OA||OB|≥

8

5

，
∴S△OAB=

1

2

|OA||OB|≥

4

5

，当且仅当|OA|=|OB|时取等，即△OAB面积的最小值为

4

5

．            （12分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．