Question

已知函数f（x）=x²-（x-a）|x-a|-x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=ax+1，x∈（-∞，a]，求不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）将函数f（x）写成分段函数的形式，运用一次函数和二次函数的单调性，求得a的范围，再求交集即可得到；
（Ⅱ）化简不等式f（x）≥g（x），即有[x-（a+1）][2x-（a-1）]≥0，讨论方程对应两根的大小，求出不等式的解集，最后加以总结即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知f(x)=

x2-(x-a)2-x，  x＞a x2-(x-a)(a-x)-x， x≤a

，
化简得：f(x)=

(2a-1)x-a2，   x＞a 2x2-(2a+1)x+a2， x≤a

，
由于（2a-1）a-a²=2a²-（2a+1）a+a²，
要使f（x）在R上是单调递减函数，
则有

2a-1＜0 2a+1 4 ≥a

，解得a＜

1

2

；
（Ⅱ）由（ I）知，当x∈（-∞，a]时，f（x）=2x²-（2a+1）x+a²，
由g（x）=ax+1，则f（x）≥g（x）即f（x）-g（x）≥0，
即有2x²-（3a+1）x+a²-1≥0，
因式分解化简得：[x-（a+1）][2x-（a-1）]≥0（*）
（*）式所对应方程的两根为x₁=a+1，x2=

a-1

2

，
（ i）当a+1＞

a-1

2

?a＞-3时，①若

a-1

2

≥a，即-3＜a≤-1时，x≤a；
②若

a-1

2

＜a，即a＞-1时，x≤

a-1

2

；
（ ii）当a+1=

a-1

2

?a=-3时，x≤a；
（ iii）当a+1＜

a-1

2

?a＜-3时，x≤a．
综上所述：当a≤-1时，不等式f（x）≥g（x）的解集为{x|x≤a}；
当a＞-1时，不等式f（x）≥g（x）的解集为{x|x≤

a-1

2

}．

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．