Question

已知等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}是单调递增的，令b_n=a_nlog 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比数列的性质,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由等差中项的性质列出方程，代入a₂+a₃+a₄=28求出a₃=8，代入a₂+a₃+a₄=28得a₂+a₄=20，再由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比即可求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意求出b_n，利用错位相减法、等比数列的前n项和公式求出S_n，代入S_n+n2ⁿ⁺¹＞50化简，求出正整数n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，可得a₃=8，
代入a₂+a₃+a₄=28得a₂+a₄=20，
∴

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

   
当

q=2 a1=2

时，an=2n；    当

q= 1 2 a1=32

时，an=

1

2n-6

．
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n或an=

1

2n-6

．            

（Ⅱ）∵等比数列{a_n}是单调递增的，∴an=2n，
∴b_n=a_nlog 

1

2

a_n=2ⁿlog 

1

2

2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+1×2²+…+n•2ⁿ）①
2S_n=-[1×2²+1×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]②，
由①-②得，S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹   
由S_n+n2ⁿ⁺¹＞50得，2ⁿ⁺¹-2＞50，则为2ⁿ⁺¹＞52，
易知：当n≤4时，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52，当n≥5时，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52，
故使S_n+n2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题考查等差中项的性质，等比数列的通项公式、前n项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，考查方程思想和化简计算能力．