Question

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N^*（m，n∈N^*），且对任意m，n∈N^*都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+3；②f（m+1，1）=2f（m，1）
对于以下四个命题：
（1）数列{f（m，2015）}是等比数列；
（2）数列{f（2015，n）}是等差数列；
（3）f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）=2²⁰¹⁵-1；
（4）f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）=2²⁰¹⁵-1；
其中真命题的序号为：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,数列的应用,进行简单的合情推理

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，3为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而判断（1），（2）的正误；利用数列求和判断（3），（4）的正误．

解答： 解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+3，
∴{f（m，n）}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴f（1，n）=2n-1；
又∵f（m+1，1）=2f（m，1），
∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴f（n，1）=2^n-1，∴f（m，n）=2^m-1+2n-2；
对于（1），数列{f（m，2015）}，f（m，2015）=2^m-1+4028．数列不是等比数列，不满足等比数列的通项公式，（1）不正确；
对于（2），数列{f（2015，n）}，f（2015，n）=2²⁰¹⁴+2n-2，是n的一次函数，满足等差数列通项公式，是等差数列，所以（2）正确；
对于（3），∵f（1，n）=2n-1，
∴f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）=（2×1-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2×2015-1）
=2（1+2+3+…+2015）-2015=2015²≠2²⁰¹⁵-1；
所以（3）不正确．
对于（4），{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴f（n，1）=2^n-1，∴f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）=

1-22015

1-2

=2²⁰¹⁵-1．所以（4）正确．
故答案为：（2）、（4）．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2^n-1，f（n，1）=2^n-1，f（m，n+1）=2^m-1+2n，是解答本题的关键，考查等差数列以及等比数列求和，属中档题．