Question

已知tanα=

2

，sin（α+β）=

5

13

，α，β∈（0，π），求cosβ．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由tanα=

2

及α∈（0，π）求得α∈（

π

4

，

π

3

），再由同角三角函数基本关系式求得cosα，sinα的值，结合β∈（0，π）及sin（α+β）=

5

13

求得cos（α+β）=-

12

13

．由cosβ=cos[（α+β）-α]展开两角差的余弦得答案．

解答： 解：∵tanα=

2

＞1，且α∈（0，π），
∴α∈（

π

4

，

π

3

），
则cosα=

1

secα

=

1

1+tan2α

=

1

3

=

3

3

，
sinα=

1-( 3 3 )2

=

6

3

．
由α∈（

π

4

，

π

3

），β∈（0，π），
则α+β∈（

π

4

，

4π

3

），又sin（α+β）=

5

13

，
∴α+β∈（

π

2

，π），则cos（α+β）=-

12

13

．
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

3

+

5

13

×

6

3

=

5 6 -12 3

39

．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数，考查了同角三角函数的基本关系式，拆角配角的思想是解决该题的关键，是中档题．