Question

求下列函数的值域：
（1）y=

1-ex

1+ex

；
（2）y=

3x

x2+4

；
（3）y=x-2

1-x

+2．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令e^x=t（t＞0）换元，然后由t的范围逐一求得y的范围得答案；
（2）由函数的定义域为实数集，可采用判别式法，当二次项系数为0时看是否存在x值，当二次项系数不为0时由判别式大于等于0求得y的范围，最后取并集得答案；
（3）令

1-x

=t（t＞0）换元，然后转化为二次函数的值域求解．

解答： 解：（1）令e^x=t（t＞0），
则y=

1-ex

1+ex

=

1-t

1+t

=-

t-1

t+1

=-

t+1-2

t+1

=

2

t+1

-1
∵t＞0，∴t+1＞1，0＜

1

t+1

＜1，0＜

2

t+1

＜2，-1＜

2

t+1

-1＜1．
∴y=

1-ex

1+ex

的值域为（-1，1）；
（2）由y=

3x

x2+4

，得yx²-3x+4y=0．
当y=0时，x=0，符合题意．
当y≠0时，由△=（-3）²-16y²=9-16y²≥0，解得：-

3

4

≤y≤

3

4

（y≠0），
综上，函数y=

3x

x2+4

的值域为[-

3

4

，

3

4

]；
（3）令

1-x

=t（t＞0），则1-x=t²，x=1-t²，
∴y=x-2

1-x

+2=1-t²-2t+2=-t²-2t+3（t＞0）．
∴y∈（-∞，3）．

点评：本题考查了利用换元法和判别式法求函数的值域，利用判别式法求函数的值域，关键是注意函数的定义域，含有根式的函数值域的求法，常采用换元法，转化为二次函数的值域求解，是中档题．