Question

若x，y∈（0，2）且xy=2，使不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、a≤

  1

  2

• B、a≤2
• C、a≥2
• D、a≥

  1

  2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意得到a＞0，然后把不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立转化为（a+2）x+

a+2

x

≥5．由基本不等式得到（a+2）x+

a+2

x

≥2|a+2|，从而得到关于a的不等式，求解即可得到答案．

解答： 解：∵x，y∈（0，2），a（2x+y）≥（2-x）（4-y），∴a＞0．
a（2x+y）≥（2-x）（4-y），即2ax+ay≥8-4x-2y+xy=10-4x-2y （xy=2），
移项并合并同类项：（2a+4）x+（a+2）y≥10，
将y=

2

x

代入上式得：（2a+4）x+

2(a+2)

x

≥10，即（a+2）x+

a+2

x

≥5．
由于（a+2）x+

a+2

x

≥2|a+2|，∴2|a+2|≥5恒成立，
即|a+2|≥

5

2

，
则a+2≤-

5

2

或a+2≥

5

2

，解得：a≤-

9

2

（舍）或a≥

1

2

．
∴使不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立的实数a的取值范围为a≥

1

2

．
故选：D．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．