Question

对?x∈R，函数f（x）=x²+bx+c的值恒非负，若b＞3，则

1+b+c

b-3

的最小值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、7

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得△=b²-4c≤0，即c≥

b2

4

．再根据b＞3，则 y=

1+b+c

b-3

≥

1+b+ b2 4

b-3

成立，即

b2

4

+（1-y）b+1-3y≤0 有解，根据此一元二次不等式的判别式△′=（1-y）²-（1+3y）≥0以及y＞0，求得y的最小值，即为所求．

解答： 解：∵对?x∈R，函数f（x）=x²+bx+c的值恒非负，
∴f（x）的判别式△=b²-4c≤0，c≥

b2

4

．若b＞3，则 y=

1+b+c

b-3

≥

1+b+ b2 4

b-3

成立，
即关于b的一元二次不等式

b2

4

+（1-y）b+1-3y≤0 有解，
∴此关于b的一元二次不等式的判别式△′=（1-y）²-（1+3y）≥0，y（y-5）≥0，
解得 y≤0，或y≥5．
再根据y＞0可得y≥5，即 y=

1+b+c

b-3

 的最小值为5，
故选：C．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．