Question

设a∈R，若对任意的n∈N^*时，不等式(an-20)ln(

n

a

)≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，5]
• B、[4，5]
• C、（4，5）
• D、[1，5]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行等价转化，然后分离出参数t后化为函数的最值可求，注意n的取值范围．

解答： 解不等式(an-20)ln(

n

a

)≥0恒成立等价为

an≥20 ln? n a ≥0

或

an≤20 ln? n a ≤0

，
即

an≥20 n a ≥1

或

an≤20 0＜ n a ≤1

，
∴

a≥ 20 n a≤n

①或

a≤ 20 n a≥n

 ②，
对于①有n≥5，
∵对于n恒成立，
∴t≥（

20

n

）_max=4，且t≤n_min=5，
∴t∈[4，5]；
同理由②也得t∈[4，5]，
综上得，t∈[4，5]．
故选：B．

点评：本题考查函数恒成立问题，不等式的等价转化，考查转化思想，准确理解题意是解决该题的关键，综合性较强，难度较大．