Question

已知C为线段AB上一点P为直线AB外一点I为PC上一点，满足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

|PA|

=

PB • PC

|PB|

，且

BI

=

BA

+λ（

AC

|AC|

+

AP

|AP|

）（λ＞0），则

BI • BA

|BA|

的值为

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：由已知得PC为∠APB的角平分线，I是三角形ABP的内心，|AB|=10，

BI • BA

|BA|

表示的是

BI

在

BA

上的投影长度．由此能求出

BI • BA

|BA|

的值．

解答： 解：∵

PA • PC

|PA|

=

PB • PC

|PB|

，
∴∠APC=∠CPB，即PC为∠APB的角平分线，
∵

BI

=

BA

+λ（

AC

|AC|

+

AP

|AP|

）（λ＞0），
∴I在∠BAP的角平分线上，即I是三角形ABP的内心，
∵|

PA

-

PB

|=10，∴|AB|=10，．

BI • BA

|BA|

表示的是

BI

在

BA

上的投影长度．
过I做IK垂直于AB于K，
则由圆的切线性质和题意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，
解得|BK|=3即所求，
故

BI • BA

|BA|

的值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目，属于中档题．