【题目】已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设数列{bn}满足 bn=,是否存在正整数,使得b1,bm,bn成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.
(3) 令,记数列{cn}的前项和为,其中,证明:.
【答案】(1)(2)存在,(3)证明见解析
【解析】分析:(1)由已知条件推导出数列{an}是公比为2的等比数列.由此能求出,n∈N*.
(2)=,若b1,bm,bn成等比数列,则.由此能求出当且仅当m=2,n=12.使得b1,bm,bn成等比数列.
(3)=[],由此利用裂项求和法能证明.
详解:(1)解:∵an+12=2an2+anan+1,∴(an+1+an)(2an﹣an+1)=0,
又an>0,∴2an﹣an+1=0,即2an=an+1,
∴数列{an}是公比为2的等比数列.
由a2+a4=2a3+4,得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2.
∴数列{an}的通项公式为,n∈N*.
(2)解:=,若b1,bm,bn成等比数列,则()2=,
即.
由,得,
∴﹣2m2+4m+1>0,解得:1﹣.
又m∈N*,且m>1,∴m=2,此时n=12.
故当且仅当m=2,n=12.使得b1,bm,bn成等比数列.
(3)证明:=
=[]
=[],
∴[]
=
=,
∵()n+1递减,
∴0<()n+1≤
∴,∴.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,2),点M的极坐标为 ,若直线l过点P,且倾斜角为 ,圆C以M为圆心,3为半径.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA||PB|.
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【题目】a、b、c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a平面α,b平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的是________.(填序号)
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【题目】在如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,底面ABFE为直角梯形,∠ABF为直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.
(1)求证:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax,(a∈R),其图象与x轴交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两点,且x1<x2
(1)求a的取值范围;
(2)证明: ;(f′(x)为f(x)的导函数)
(3)设点C在函数f(x)的图象上,且△ABC为等边三角形,记 ,求(t﹣1)(a+ )的值.
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【题目】
已知等差数列, .
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求;
(3)是否存在正整数,使得仍为数列中的项,若存在,求出所有满足的正整数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】(2015·上海)设z1, z2C, ,则“z1, z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
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