【题目】已知是平面内两个不共线的非零向量,,,,且三点共线.
(1)求实数的值;
(2)已知,点,若四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)由三点共线可知,据已知条件,可得关于的方程组,解方程组得值;(2)由已知条件可求出坐标,由平行四边形的边之间的关系可得,再由点坐标可得点的坐标.
试题解析:
(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2∵A,E,C三点共线,
∴存在实数k,使得=k,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
∴,解得k=-,λ=-.
(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=.
设A(x,y),则=(3-x,5-y),
∵=(-7,-2),∴,解得,
即点A的坐标为(10,7).
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【题目】已知椭圆的离心率,且经过点.
求椭圆的方程;
过点且不与轴重合的直线与椭圆交于不同的两点,,过右焦点的直线分别交椭圆于点,设, ,求的取值范围.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.若,则,的长度相等,方向相同或相反
B.若向量是向量的相反向量,则
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形中,一定有
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【题目】已知椭圆的离心率为,直线经过椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与轴交于点,、是椭圆上的两个动点,且它们在轴的两侧,的平分线在轴上,|,则直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极坐标建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
求的普通方程;
将圆平移,使其圆心为,设是圆上的动点,点与关于原点对称,线段的垂直平分线与相交于点,求的轨迹的参数方程.
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【题目】已知点是抛物线上一点,为的焦点.
(1)若,是上的两点,证明:,,依次成等比数列.
(2)过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于,(在的上方),求向量在轴正方向上的投影的取值范围.
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【题目】若各项均不为零的数列的前项和为,数列的前项和为,且,.
(1)证明数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)设,是否存在正整数,使得对于恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.
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