Question

已知等差数列{a_n}中，记S_n是它的前n项和，若S₂=16，S₄=24，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=16，S₄=24可求得d与a₁，从而可得a_n=11-2n，对n分n≤5与n≥6讨论，即可求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=16，S₄=24，得

2a1+ 2×1 2 d=16 4a1+ 4×3 2 d=24

，
即

2a1+d=16 2a1+3d=12

，解得

a1=9 d=-2

，
∴等差数列{a_n}的通项公式为 a_n=11-2n（n≥1，n∈N）．
（1）当n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+10n；
（2）当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇-…-a_n
=2S₅-S_n
=2×（-5²+10×5）-（-n²+10n）
=n²-10n+50；
故T_n=

-n2+10n(n≤5) n2-10n+50(n≥6)

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档题．