Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），中心为O，右顶点为A，

F1A

•

F2A

=c²，P为椭圆上任一点．
（1）求椭圆离心率；
（2）若cos∠F₁PF₂=

1

3

，且△PF₁F₂的面积为

2

时，求椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，点N为椭圆上动点，若M（m，0）（m＞0），求|MN|的最小值及此时N点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用向量的数量积，求出a、c关系，即可求椭圆离心率；
（2）利用cos∠F₁PF₂=

1

3

，通过余弦定理以及△PF₁F₂的面积为

2

时，求出a²，b²的值，即可求椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，利用点N为椭圆上动点，求出m＞1以及m∈（0，1]，求|MN|的最小值及此时N点的坐标．

解答： 解：（1）因为A（a，0），所以

F1A

=(a+c，0)，

F2A

=(a-c，0)，
又

F1A

•

F2A

=a2-c2=c2，所以a²=2c²，所以e=

2

2

（2）设|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，则r1+r2=2a=2

2

c，
S△PF1F2=

1

2

|

PF1

|：|

PF2

|•sin∠F1PF2
=

1

2

r1r2•

2 2

3

=

2

，所以r₁r₂=3
又cos∠F1PF2=

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 |•| PF2 |

=

(r1+r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

8c2-6-4c2

6

=

1

3

所以c²=2，a²=4，b²=2椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1
（3）设N(x0，y0)，

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1
所以|MN|2=(x0-m)2+

y

2 0

=

x

2 0

-2mx0+m2+2-

1

2

x

2 0

=

1

2

(x0-2m)2+2-m2
又因为N点满足椭圆，所以-2≤x₀≤2，m＞0，
所以①若2m＞2，则m＞1，当x=2时，|MN|的最小值为|2-m|，此时N（2，0）；
②若0＜2m≤2，则0＜m≤1，当x=2m时，|MN|的最小值为

2-m2

，此时N(2m，±

2-m2

)

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了椭圆的基本性质，向量的运算，考查了知识的综合运用和基本的运算能力．