Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{

1

an

-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列 {

n

an

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

2an

an+1

，可得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，即可证明数列{

1

an

-1}是等比数列；
（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{

n

an

}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵an+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

+

1

2

•

1

an

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

，
∴数列{

1

an

-1}是以为

1

2

首项，

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

1

an

-1=

1

2n

，即

1

an

=

1

2n

+1，
∴

n

an

=

n

2n

+n．
设Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①
则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
由①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
又1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴数列{

n

an

}的前n项和Sn=2-

2+n

2n

+

n(n+1)

2

=

n2+n+4

2

=

n+2

2n

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．