Question

已知f（x）=x²-（a+2）x+alnx
①当a=1时，求函数f（x）的极小值；
②当a=-1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；
③若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求出f′(x)=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值．
（2）先求出f′(x)=2x-1-

1

x

(x＞0)，从而求出切线的方程，整理得m²+lnm-1=0，进而求出m的值．
（3）f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

(x≥1)，分别讨论a=2，a＞2，a＜2时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f′(x)=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

当x∈(0，

1

2

)f′(x)＞0，f（x）单增，
当x∈(

1

2

，1)f′(x)＜0，f（x）单减，
当x∈（1，+∞）f'（x）＞0f（x）单增，
∴当x=1时，f（x）取得极小值-2．
（2）f′(x)=2x-1-

1

x

(x＞0)，
所以切线的斜率k=2m-1-

1

m

=

n-0

m-0

=

m2-m-lnm

m

，
整理得m²+lnm-1=0，显然m=1是这个方程的解．
又∵y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以x²+lnx-1=0有唯一实数解，
故m=1．
（3）f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

(x≥1)
若a=2，则f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）单增，
故f（1）=1-（a+2）≥2，得a≤-1舍去
若a＞2，则x∈(1，

a

2

)时，f′(x)＜0，x∈(

a

2

，+∞)时，f'（x）＞0
要f（x）≥0恒成立，
即f（x）的最小值f(

a

2

)≥0，也即

a＞2 a2 4 -(a+2) a 2 +a•ln a 2 ≥0

，
令φ(x)=

x

4

-(x+2)•

1

2

+ln

x

2

(x＞2)
=-

x

4

-1+ln

x

2

令t=

x

2

(t＞1)，
h(t)=-

t

2

-1+lnt，
h′(t)=-

1

2

+

1

t

=

2-t

2t

，
当t∈（1，2）时，h'（t）＞0，
当t∈（2，+∞）时，h'（t）＜0，
∴h（t）在（1，+∞）上的最大值为h（2）=-2+ln2＜0，
∴φ（x）＜0在x∈（2，+∞）上成立，
∴x•φ(x)=

x2

4

-(x+2)•

x

2

+xln

x

2

＜0在(2，+∞)上成立，
∴a＞2不适合
若a＜2，则x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单增，
由题

a＜2 f(1)≥0

得a≤-1，
综上：a≤-1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了导数的应用，参数的取值，考查分类讨论思想，切线方程，是一道综合题．