Question

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1，若曲线y=f（x）在点A（-1，f（-1））处与直线y=b相切．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+ax²-9x-1，∴f′（x）=3x²+2ax-9，
∵曲线y=f（x）在点A（-1，f（-1））处与直线y=b相切
∴f′（1）=0，f（1）=b
∴3-2a-9=0，-1+a+9=b
∴a=-3，b=4；
（2）f′（x）=3x²+6x-9=3（x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞3；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜3
∴函数的单调递增区间是（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为（-1，3）．
分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点A（-1，f（-1））处与直线y=b相切，建立方程，即可求a，b的值；
（2）求导函数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．