Question

设平面区域D是由双曲线y²-

x2

4

=1的两条渐近线和抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,双曲线的简单性质

专题：不等式的解法及应用

分析：求出双曲线的渐进性，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答： 解：双曲线y²-

x2

4

=1的两条渐近线方程为y=±

1

2

x，抛物线y²=-8x的准线准线方程为x=2，
则对应的平面区域如图：
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由平移可知当直线y=-x+z经过点O时，直线y=-x+z的截距最小，此时z=0，
当y=-x+z经过点A（2，1）时，直线y=-x+z的截距最大，
此时z=x+y=1+2=3，
故目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为0+3=3，
故答案为：3

点评：本题主要考查线性规划的应用，求出双曲线的渐近线方程以及抛物线的准线方程是解决本题的关键．