Question

【题目】在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.

(1)求证：AC⊥平面FBC；

(2)求四面体FBCD的体积；

(3)线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) 见解析．(2) ．(3) 见解析．

【解析】试题分析：

（1）（2）（3）

试题解析：

(1)证明：在△ABC中，

∵AC＝，AB＝2，BC＝1，

∴，

∴，

∴AC⊥BC．

又AC⊥FB，BC ∩FB＝B，

∴AC⊥平面FBC．

(2)∵AC⊥平面FBC，FC平面FBC，

∴AC⊥FC．

∵CD⊥FC，AC∩CD＝C，

∴FC⊥平面ABCD．

在等腰梯形ABCD中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，

∴FC＝1.

∴，

∴四面体FBCD的体积为．

(3)线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．

证明如下：

连接CE，与DF交于点N，连接MN．

∵四边形CDEF为正方形，

∴N为CE中点．

∴EA∥MN．

又MN平面FDM，EA平面FDM，

∴EA∥平面FDM．

故线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．