Question

【题目】已知函数．

判断在定义域上的单调性；

若在上的最小值为2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先确定f（x）的定义域为（0，+∞），再求导，由“f'（x）＞0，f（x）为增函数f'（x）＜0，f（x）在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．

（2）因为，x＞0．由（1）可知当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）；当0＜﹣a≤1时，；f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）；当1＜﹣a＜e时；f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，f（x）min＝f（﹣a）；当﹣a≥e时，；f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min＝f（e）；最后取并集．

（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞）

①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数；

②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；

∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．

所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．

（2）∵，x＞0．由（1）可知：

①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!

②当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．

③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，

∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．

④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有，

∴a＝﹣e．

综上可知：a＝﹣e．