Question

7．当t∈[0，2π）时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由f（t）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，sintcost=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，则f（t）=1+m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{2}$，运用二次函数的值域求法，可得最大值．

解答 解：f（t）=（1+sint）（1+cost）
=1+（sint+cost）+sintcost，
令m=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即有m²=1+2sintcost，即sintcost=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，
则f（t）=1+m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{（m+1）^{2}}{2}$，
即有m=-1时，f（t）取得最小值0；
m=$\sqrt{2}$，即t=$\frac{π}{4}$时，f（t）取得最大值，且为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用三角换元和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．