Question

4．设（1-2x）²⁰¹³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³ （x∈R）．
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₃的值；
（2）求a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₁₃的值；
（3）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₃|的值．

Answer 1

分析 （1）在已知等式中取x=1可得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₃的值；
（2）取x=-1，得到a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₂₀₁₃=3²⁰¹³，结合（1）得答案；
（3）写出已知二项展开式的通项，分析可得a_2k＞0，a_2k+1＜0，（k∈N^*）．把|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₃|去绝对值得答案．

解答 解　（1）令x=1，
得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=（-1）²⁰¹³=-1；①
（2）令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₂₀₁₃=3²⁰¹³．②
与①式联立，①-②得2（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）=-1-3²⁰¹³，
∴a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=-$\frac{1+{3}^{2013}}{2}$；
（3）T_r+1=${C}_{2013}^{r}$•（-2x）^r=（-1）^r•${C}_{2013}^{r}$•（2x）^r，
∴a_2k＞0，a_2k+1＜0，（k∈N^*）．
∴|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₃|=a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₃=3²⁰¹³．

点评 本题考查二项式定理及其应用，考查特值化思想方法的应用，是中档题．