Question

15．给出下列命题：
①函数f（x）=sinx，g（x）=sin|x|都是周期函数；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）；
③方程sinx=tanx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的实数解有3个；
④函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y=1围成的图形面积等于2π；
⑤函数f（x）是偶函数，且图象关于直线x=1对称，则2为f（x）的一个周期．
其中正确的命题是④⑤．（把正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 利用函数的周期性判断①的正误；三角函数的图象变换判断②的正误；函数的零点判断③的正误；利用图形的面积判断④的正误；好的周期性与对称性判断⑤的正误．

解答 解：函数f（x）=sinx是以T=2π为周期的周期函数，g（x）=sin|x|不是周期函数，故①不正确；
把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，得到函数f（x）=2sin$\frac{1}{2}$x，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）；故②错误；
方程sinx=tanx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的实数解有1个；故③不正确；
函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y=1围成的图形可以转化为一个底边长2π，高为2的三角形，其面积等于2π，故④正确；
两条相邻的对称轴之间相差半个周期，故当函数f（x）是偶函数，且图象关于直线x=1对称，则2为f（x）的一个周期，故⑤正确；
故答案为：④⑤

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和余弦函数的图象和性质，难度中档．