Question

5．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}$，求t的值
（2）求证：R，A，C三点共线．

Answer 1

分析 （1）求出相关向量，利用$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}?\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}=0$，求解即可．
（2）R，M，P三点共线，设出$\overrightarrow{MR}=x\overrightarrow{MP}$，R，N，Q三点共线，可设$\overrightarrow{NR}=y\overrightarrow{NQ}$，然后列出方程组求解证明即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MP}=（t，1）-（0，\frac{1}{2}）=（t，\frac{1}{2}），\overrightarrow{NP}=（t，1）-（2，\frac{1}{2}）=（t-2，\frac{1}{2}）$…（3分
）$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}?\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}=0$，所以$t（t-2）+\frac{1}{4}=0$，$t=1±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（6分）
（2）R，M，P三点共线，可设，$\overrightarrow{MR}=x\overrightarrow{MP}$
所以$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{MP}=（xt，\frac{1}{2}（1+x））$R，N，Q三点共线，可设，$\overrightarrow{NR}=y\overrightarrow{NQ}$
所以$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AN}+y\overrightarrow{NQ}=（2+y（t-2），\frac{1}{2}（1-y））$…（10分）
根据平面向量的基本定理得：$\left\{{\begin{array}{l}{xt=2+y（t-2）}\\{\frac{1}{2}（1+x）=\frac{1}{2}（1-y）}\end{array}}\right.$，解得：$x=\frac{1}{t-1}，y=-\frac{1}{t-1}$
所以$\overrightarrow{AR}$=$（\frac{t}{t-1}，\frac{t}{2（t-1）}）=\frac{t}{2（t-1）}（2，1）=\frac{t}{2（t-1）}\overrightarrow{AC}$
所以R，A，C三点共线．…（15分）

点评 本题考查向量的应用，向量共线与垂直条件的应用，考查计算能力．