Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= ，CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小 ．

Answer 1

解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．
因为EGP平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），
E（0，0，1），F（，，1）．
所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．
所以=0﹣1+1=0，=﹣1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，
设平面ABE的法向量=（x，y，z），则=0，=0．即
所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．
所以n=（），从而cos（，）=
因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．