Question

【题目】

（1）求在上的单调区间；

（2）当时，设函数，时，证明．

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）分别在、、和四种情况下，根据导函数的正负确定原函数的单调区间；

（2）将所证不等式转化为证明，采用换元法可知即证，利用导数可确定函数单调性，进而确定，由此证得结论；

（3）由可得，通过分离常数法进行配凑，可以得到，根据不等式的性质，结合累加的方法可证得结论.

（1）由题意得：，

①当时，在上恒成立，

的单调递减区间为，无单调递增区间；

②当时，令，解得：或（舍），

当时，；当时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为；

③当时，在上恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间；

④当时，令，解得：（舍）或

当时，；当时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得：，

，，即，

要证，需证，即证，

设，则要证，等价于证：，

令，则，

在区间内单调递增，，

即，故.

（3）由（1）知：当时，在上为增函数，，

即，

令， 可得：，

即，

，

则，，，，，

不等式左右分别相加得：

，不等式得证.