Question

已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|=

3 2

2

，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）利用k_MA×k_MB=-2，化简可得结论；
（2）先判断直线PQ的斜率存在，设出方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求直线PQ的方程．

解答：解：（1）设M（x，y），（1分）
则kMA=

y

x+1

，kMb=

y

x-1

，(x≠±1)（3分）
∴

y

x+1

×

y

x-1

=-2（4分）
∴x2+

y2

2

=1（x≠±1）（6分）（条件1分）
（2）当直线PQ的斜率不存在时，即PQ是椭圆的长轴，其长为2

2

，显然不合，即直线PQ的斜率存在，（7分）
设直线PQ的方程是y=kx+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁-y₂=k（x₁-x₂），（8分）
联立

x2+ y2 2 =1 y=kx+1

，
消去y得（k²+2）x²+2kx-1=0（9分）
∵△=（4k²）+4（k²+2）=8（k²+1）＞0，
∴k∈R，（10分）
x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

（11分）
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

k2+1

k2+2

，（12分）
∴|PQ|=

3 2

2

=2

2

k2+1

k2+2

，k2=2，k=±

2

，（13分）
∴直线PQ的方程是y=±

2

x+1．                                （14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查弦长的计算，正确运用韦达定理是关键．