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已知函数
(1)若的极值点,求实数a的值;
(2)若上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当有实根,求实数b的最大值。

解:(1)……1分
因为的极值点,所以
,解得,又当时,,从而的极值点成立。…………2分
(2)因为在区间上为增函数,所以在区间上恒成立。…………3分
①当时,在区间上恒成立,在区间上为增函数,符合题意。…………4分
②当时,由函数的定义域可知,必有成立,
故只能…………5分
恒成立
,其对称轴为
从而要使恒成立,只要即可…………6分
  解得:
,故
综上所述,实数的取值范围为…………7分
(3)若时,方程可化为,
问题转化为上有解,
即求函数的值域.………………………………8分
以下给出两种求函数值域的方法:
解法一:,令
…………9分
所以当时,,从而上为增函数
时,,从而上为减函数
因此…………10分
,故…………11分
因此当时,取得最大值………12分
解法二:因为,所以
,则………9分
时,,所以上单调递增
时,,所以上单调递减
因为,故必有,又…10分
因此必存在实数使得
时,,所以上单调递减;
时,,所以上单调递增
时,,所以上单调递减………11分
又因为
时,,则,又
因此当时,取得最大值
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是极值的概念和根据单调区间,求解参数的取值范围,以及利用函数与方程的思想求解参数b的最值。
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