Question

5．在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范围是2．

Answer 1

分析 设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．利用余弦定理可得cosB，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得2R=$\frac{4}{sinB}$，解得R.$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}）$•$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$=-R²-${\overrightarrow{OP}}^{2}$，即可得出．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．
由cosB=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$=$-\frac{1}{4}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴2R=$\frac{4}{sinB}$=$\frac{16}{\sqrt{15}}$，解得R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$．
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}）$•$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$=-R²-${\overrightarrow{OP}}^{2}$∈[-2R²，-2R²+4]=$[-\frac{128}{15}，-\frac{68}{15}]$．
故答案为：$[-\frac{128}{15}，-\frac{68}{15}]$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．