Question

15．已知复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，且z₁•z₂是实数．
（1）求z₁及$\overline{z_1}$；
（2）求z₂及|z₁+z₂|．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得复数z₁，则$\overline{z_1}$可求；
（2）设z₂=a+2i，a∈R，把z₁，z₂代入z₁•z₂化简，再结合已知条件看求出a的值，则z₂可求，然后根据复数求模公式计算得答案．

解答 解：（1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，
得${z}_{1}=\frac{1-i}{1+i}+2=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}+2=2-i$．
则$\overline{{z}_{1}}=2+i$．
（2）设z₂=a+2i，a∈R，则z₁•z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i．
∵z₁•z₂∈R，∴a=4．
∴z₂=4+2i．$|{{z_1}+{z_2}}|=|{6+i}|=\sqrt{37}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．