Question

6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆煌一个“太极函数”下列有关说法中：
①对圆O：x²+y²=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数f（x）=sinx+1是圆O：x²+（y-1）²=1的一个太极函数；
③存在圆O，使得f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$是圆O的太极函数；
④直线（m+1）x-（2m+1）y-1=0所对应的函数一定是圆O：（x-2）²+（y-1）²=R²（R＞0）的太极函数．
所有正确说法的序号是②④．

Answer 1

分析 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．

解答 解：对①显然错误，如图

对②，点（0，1）均为两曲线的对称中心，且f（x）=sinx+1能把圆x²+（y-1）²=1一分为二，正确；
对③，函数为奇函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，当x→0（x＞0）时，
f（x）→+∞，
当x→+∞时，f（x）→1，[f（x）＞1]，函数递减；
当x→0（x＜0）时，f（x）→-∞，
当x→-∞时，f（x）→-1，[f（x）＜-1]，
函数f（x）关于（0，0）中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．③不正确；
对于④直线（m+1）x-（2m+1）y-1=0恒过定点（2，1）的直线，经过圆的圆心，满足题意．④正确；
故所有正确的是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．