Question

18．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知2a_n-2=S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据递推公式即可求出{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S₁=a₁．
∴当n=1时，2a₁-2=S₁=a₁，
∴a₁=2，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1
∴{a_n}的首项为a₁=2，公比q=2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*，
（Ⅱ）设T_n=1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+n•a_n，
∴T_n=1•2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．