Question

10．四棱锥M-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM的体积的最大值是24．

Answer 1

分析 三棱锥A-BCM体积等于三棱锥M-ABC的体积，已知正方形ABCD的边长为6，空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，只要求出M点到AB的最大值即可．

解答 解：∵三棱锥A-BCM体积=三棱锥M-ABC的体积，
又正方形ABCD的边长为6，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
又空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，
当|MA|=|MB|时，M点到AB距离最大，h=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴三棱锥M-ABC的体积的最大值为V=$\frac{1}{3}$S_△ABCh=$\frac{1}{3}$×18×4=24，
∴三棱锥A-BCM体积的最大值为24，
故答案为：24．

点评 本题考查球面几何体的计算问题，主要等体积的转化，这种思想是高考立体几何中常用的做题技巧，此题是一道不错的题．