Question

1．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且中心为O，AB=BO=1，PA=PB=PC=PD=2，则该四棱锥的外接球的体积为$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．

Answer 1

分析 利用勾股定理，求出该四棱锥的外接球的半径，再利用球的体积公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
设该四棱锥的外接球的半径为R，则R²=1²+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴四棱锥的外接球的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．
故答案为：$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．

点评 本题考查四棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，求出四棱锥的外接球的半径是关键．