Question

16．某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（n∈N）千元时比广告费为n千元时多卖出$\frac{b}{{2}^{n+1}}$件，设作n（n∈N）千元广告时销售量为C_n件．
（1）试写出销售量C_n与n（n∈N）的函数关系式．
（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？

Answer 1

分析 （1）根据在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（n∈N）千元时比广告费为n千元时多卖出$\frac{b}{{2}^{n+1}}$件，直接列式；
（2）b=4000时，C_n=4000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$），设获利为T_n，则有T_n=C_n•10-1000n=40000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-1000n欲使T_n最大，根据数列的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}≥{T}_{n+1}}\\{{T}_{n}≥{T}_{n-1}}\end{array}\right.$，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求最大利润．

解答 解：（1）广告费为1千元时，C_n=b+$\frac{b}{2}$；2千元时，C_n=b+$\frac{b}{2}$+$\frac{b}{{2}^{2}}$；
…n千元时，C_n=b+$\frac{b}{2}$+$\frac{b}{{2}^{2}}$+…+$\frac{b}{{2}^{n}}$=b（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）；
（2）b=4000时，C_n=4000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$），设获利为T_n，则有T_n=C_n•10-1000n=40000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-1000n
欲使T_n最大，则$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}≥{T}_{n+1}}\\{{T}_{n}≥{T}_{n-1}}\end{array}\right.$，得n=5，此时T_n=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．

点评 本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．