Question

8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．若△ABD的面积为7，则AB=$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠C的值，从而在△ADC中，由正弦定理可求AD的值，进而利用三角形面积公式可求BD，在△ADB中，利用余弦定理即可求得AB的值．

解答 解：因为$cos∠ADB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
所以$sin∠ADB=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．
又因为$∠CAD=\frac{π}{4}$，
所以$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$，
所以$sin∠C=sin（∠ADB-\frac{π}{4}）=sin∠ADBcos\frac{π}{4}-cos∠ADBsin\frac{π}{4}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$．
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
故$AD=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADC}=\frac{AC•sin∠C}{sin（π-∠ADB）}=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADB}=\frac{{\frac{7}{2}×\frac{4}{5}}}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}=2\sqrt{2}$．
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AD•AB•sin∠ADB=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•BD•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=7$，解得BD=5．
在△ADB中，由余弦定理得：$A{B^2}=A{D^2}+B{D^2}-2AD•BD•cos∠ADB=8+25-2×2\sqrt{2}×5×（-\frac{{\sqrt{2}}}{10}）={37}$．
可得：AB=$\sqrt{37}$．
故答案为：$\sqrt{37}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．