Question

1．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为（　　）

• A． $\frac{27}{190}$
• B． $\frac{12}{166}$
• C． $\frac{15}{166}$
• D． $\frac{27}{166}$

Answer 1

分析 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从20个点中取2个，但每条棱上3点任取2个是重复的，满足条件的事件是要与面A₁DC₁平行或在其面内，与A₁C₁平行或重合的有9条，根据古典概型公式得到结果．

解答 解：解：由题意知本题是一个古典概型，
从20个点中取2个，共${C}_{20}^{2}$=190，
但每条棱上3点任取2个是重复的，
∴分母为190-12${C}_{3}^{2}$+12=166，
要与BD₁垂直，则应与面A₁DC₁平行或在其面内，与A₁C₁平行或重合的有9条，共27条，
∴P=$\frac{27}{166}$．
故选：D．

点评 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．