Question

3．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意x∈R，都有f（x）+f（-x）=x²，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a²，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范围

解答 解：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，则$g（{-x}）=f（{-x}）-\frac{1}{2}{x^2}$，
则g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-x²=0，得g（x）为R上的奇函数，
∵x＞0时，g'（x）=f'（x）-x＞0，故g（x）在（0，+∞）单调递增，
再结合g（0）=0及g（x）为奇函数，知g（x）在（-∞，+∞）为增函数，
又$g（{2-a}）-g（a）=f（{2-a}）-\frac{{{{（{2-a}）}^2}}}{2}-（{f（a）-\frac{a^2}{2}}）$=f（2-a）-f（a）-2+2a≥（2-2a）-2+2a=0
则g（2-a）≥g（a）等价于2-a≥a，解得a≤1，即a∈（-∞，1]．
故选B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．